Matemáticas Everywhere: mayo 2013

lunes, 6 de mayo de 2013

Ejercicio 3.- Identidades Trigonométricas.

Demuestra que:

tan x
------- = sec x
sen x

sen x
-------
cos x
______ = 1
sen x -------
------- cos x
1 1 1
--------- = ---------
cos x cos x
sen x 1
------------------- = ---------
(cos x)(sen x) cos x

Ley del Seno y Coseno.

Sin A = Sin B = Sin C
_____ _____ _____
a b c

Ley del Coseno

a^2 = b^2 + c^2 --------- 2bc Cos a

b^2 = a^2 + c^2 --------- 2ac Cos b

c^2 = a^2 + b^2 --------- 2ab Cos c

Ejercicio 2.- Ecuaciones con Razones Trigonométricas.

Obtener el resultado de la siguiente función:

6 (sen 30°) (cos 30°) + 8 (tan 30°) (cos 45°)

6 (0.5) (0.866) + 8 (0.57) (0.707)

6 (0.433) + 8 (0.408)

2.59 + 3.26 = 5.85

Conversión de Grados a Radianes y Viceversa.

Conversión de Decimales de un Ángulo de Minutos y Segundos. 1°= 60 minutos (60') 1' = 60 segundos (60")

Conversión de minutos y segundos a grados

Funciones Trigonométricas.

Obtén las medidas trigonométricas y el ángulo de los siguientes ángulos.

1- Obtener la hipotenusa.

C^2= a^2 + b^2

c^2= 3^2 + 2^2

c^2= 9 + 4

c^2= 13

c= raíz 13

c= 3.605

2. Obtener Seno, coseno y tangente de alfa.

Sen A = 3 = 0.8333

---

3.6

Cos A = 2 = 0.5555

---

3.6

tan A = 3 = 1.5

----

3. Se toma cualquier función trigonométrica y se obtienen los grados de A.

Sen A = 0.8333

A= sen -1 (0.8333)

A= 56.09°

Ejercicio 1.- Perímetro, Área y Volumen.

El perímetro de un polígono es la suma de la longitud de cada lado, si el polígono es regular, entonces el perímetro es igual al número de lados por la longitud de uno de ellos:

P = (n° de lados) (Longitud)

Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 99 metros, ¿Cuánto mide cada lado?

P = ( n° l ) (longitud)

l = P / N° l

l = 99 / 3

l = 33 metros.

El área de una figura es la medida de la superficie y medir una superficie es determinar cuantas veces contiene a otra superficie conocida.

Un terreno de forma mide 35 m. y 45 m. en sus lados paralelos y el ancho mide 20 m. ¿Cuál es el área?

Formula del trapecio= (B + b) h
-------------
2

A= (45+35) 20
--------------
2

A= 1600
--------
2

A= 800 m^2

Volumen

Se almacenan granos en un cono que tiene 20 m de altura y un radio de 6 m. ¿Cuál es la capacidad de almacenamiento?

Formula del cono:

V = (3.1416 (6)^2) 20
-------------------------
3

V = (113.09) 20
--------------
3

V = 2261.946711
----------------
3

V = 753.98 m^3

Ejercicio 5.- Teorema de Pitagoras.

La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Este teorema se utiliza solamente en los triángulos rectángulos.
Para verificar que un triángulo es rectángulo podemos aplicar también el teorema de Pitagoras.

Verifica si los triángulos son rectángulos.

a) 4, 7.5 y 8.5 b) 8, 15 y 12 c) 12, 15 y 20

8.5^2=4^2+7.5^2 15^2=8^2+12^2 20^2=12^2+15^2
72.25=16+56.25 223=64+144 400=144+225
72.25=72.25 223=208 400=369

Si es triángulo rectángulo No es triáng. rect. No es triáng. rect.

Ejercicio 4.- Ángulos Internos de un polígono.

Los ángulos internos de un polígono se obtienen dividiendo ese polígono en triángulos para ver cuantos se forman internamente desde un vértice.

Fórmula:

Ángulos internos= (Numero de lados-2) 180°

-Obtener la suma de los ángulos internos de los siguientes polígonos:
A) 38 lados
38-2= 36
(36) (180°)= 6480°

B) 10 lados
10-2= 8
(8) (180°)= 1440°

C) 17 lados
17-2= 15
(15) (180°)= 2700°

Ejercicio 3.- Teoremas.

Si tenemos dos ángulos complementarios congruentes con otros dos, entonces el complemento de este también será congruente. Si tenemos dos ángulos suplementarios congruentes con otros dos, entonces el suplemento de este también será congruente.

En 2 rectas paralelas divididas por una transversal, uno de los ángulos mide 150°, calcula el valor de "x" y "y".

---- ---

AB || CD

x+ y= 150° 150°+ángulo "a"= 180°

-x+2y= 30° a= 30°

x+y= 150°

3y= 120

y= 120/3

y= 40°

x+40= 150°

x= 150-40

x= 110°

Ejercicio 2.- Semejanza de Triángulos.

Los triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma aunque tengan diferente tamaño. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos respectivos son congruentes, y sus lados homólogos y proporcionales.

Postulado: LAL

30/21 = 1.42

20/14= 1.42

Ángulo A= Ángulo E=90°

Ejercicio 1.- Triángulos congruentes.

Dos triángulos son congruentes si tienen el mismo tamaño y forma, de tal manera que si los superponemos uno con el otro, coinciden de manera exacta. Sabemos que la suma de los 3 ángulos internos de un triángulo es igual a 180° y también conocemos los 3 postulados de congruencia en los triángulos: ALA, LAL y LLL. Encuentra el valor de "x" y de "y" de las siguientes figuras, aplicando los postulados de congruencia.

Postulado: LAL

Triángulo Lado Ángulo
I I, X 60°
II I, X 3y

3y= 60°
y= 60
----
3
y= 20

Triángulo Lado Ángulo
I II, X 2X
II II, X 24

2x= 24°
x= 24
---
2
x= 12°

Rectas y segmentos más importantes de un circulo.

CUERDA:
Una cuerda de una curva es un segmento de recta, cuyos extremos son dos puntos de la curva. La recta que contiene a una cuerda se denomina secante a la curva; si un extremo tiende al otro la recta límite se llama tangente a la curva.

SECANTE:
Es una recta que corta a una circunferencia en 2 puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.

TANGENTE:
La tangente a una curva en uno de sus puntos, es una recta que toca a la curva en el punto dado, el punto de tangencia(se puede decir que «forman un ángulo nulo» en la vecindad de dicho punto).

RADIO:
Es la mitad del diámetro. Todos los radios de una figura geométrica poseen la misma longitud.

DIÁMETRO:
El diámetro es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una circunferencia, una superficie esférica o una curva cerrada.

Ejercicio 8.- Construcción de un pentágono dentro de una circunferencia.

1.- Traza un diámetro (AB) y después una recta perpendicular (CD mediatriz).

2.- Traza el radio de uno de los puntos del diámetro (AB), de modo que corte la circunferencia (puntos E,F).

3.- Traza una recta con los puntos de corte (EF), de modo que intersecte el diámetro, el cual se nombrara el punto G

4.- Traza nuevamente el radio del circulo desde el punto "G", tienes que cortar el diámetro y a ese punto se le nombrara el punto "H".

5.- Abre el compás del punto "C" al punto "H" y realiza cortes a la circunferencia con esa medida, situándote como punto de inicio el punto C.

6.- Une los puntos de corte de la circunferencia que realizaste anteriormente (#5).

Ejercicio 7.- Construcción de un Triángulo.

1.- Traza el diámetro y el punto centro osea el radio.

2.- Traza el radio por cualquiera de los dos lados del diámetro (Segmento AB)

3.- Une el punto contrario del diámetro (B) con los puntos formados por e radio del arco. (C y D)

Ejercicio 6.- Polígonos, Construcción de un cuadrado dentro de un circulo.

Los polígonos son figuras formadas por más de 3 lados los cuales forman su perímetro. Existen polígonos irregulares, los cuales son formados por lados de diferente longitud y los polígonos regulares, que son formados por los lados con la misma longitud.

Construcción de un cuadrado dentro de un circulo cualquiera.

1) Traza el diámetro y se traza una perpendicular, haciendo una mediatriz, se intersectan los arcos formados.

2) Los puntos formados en la circunferencia se unen, formando el cuadrado.

Ejercicio 5.- Desigualdad de los Triángulos.

Postulado de la desigualdad.

-En todo triángulo la suma de dos de sus lados cualquiera debe ser mayor a la medida del lado restante.

Determina si se pueden formar los triángulos con las siguientes medidas e indica que clase de triángulo es.

a) 4, 5 y 7
b) 6, 7 y 13

4+5= 9>7
5+7= 12>4
4+7= 11>5

Si se puede

6+7= 13=13
7+13= 20>6
6+13= 19>7
No se puede

Ejercicio 4.- Ángulos Congruentes.

A) Construye la mediatriz de _____
AC

B) Traza la bisectriz del Ángulo "B".

C) Traza la mediana de ____
AB

D) Construye la altura desde el vértice "A" al lado ____
BC

E) Construye la altura desde el vértice C a la prolongación del lado _____
AB

Ejercicio 3.- Triángulos

MEDIATRIZ:

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB.

BISECTRIZ:

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.

ALTURA:

Es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o prolongación). Se obtiene ortocentro que es el punto donde se cortan las 3 alturas).

MEDIANA:

Es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Se obtiene el baricentro que es el punto de corte de las tres medianas.

Clasificación de los Triángulos.

Según sus lados:

EQUILATERO: Cuando todos sus lados son iguales y también sus ángulos.

ISÓSCELES: Cuando dos lados son iguales y el tercero que es la base del triángulo es diferente.

ESCALENO: Cuando todos sus lados son diferentes.

Según sus Ángulos:

ACUTÁNGULO: Cuando todos sus ángulos son agudos y miden 90°.

RECTÁNGULO: Cuando uno de sus ángulos es recto y es de 90°.

OBTUSÁNGULO: Cuando uno de sus ángulos es obtuso y mide 90°.

Fuentes:

https://www.google.com.mx/search?hl=es-419&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1024&bih=624&q=equilatero&oq=equilater&gs_l=img.3.0.0l10.1023.2234.0.3344.9.6.0.3.3.1.173.596.3j3.6.0...0.0...1ac.1.12.img.TqPBEVUax2c#hl=es-419&site=imghp&tbm=isch&sa=1&q=triangulo+obtusangulo&oq=triangulo+obtu&gs_l

Ejercicio 2.- Construcciones Básicas.

Ángulos Congruentes:
Un ángulo congruente es la unión de 2 rayos que tienen el mismo extremo u origen. Los ángulos se denominan por medio del símbolo y una letra griega o mayúscula.

Construcción:

-Trazar un ángulo congruente:

1) Con el compás centrado en "A" (Osea el ángulo Original), trazas un arco con cualquier radio, tienes que cortar los dos rayos del ángulo, las intersecciones serán los puntos B y C.

2) Trazas un rayo con origen en "P".

3) Con la abertura que tenia el compás centra en "P" y traza un arco de circunferencia que cruce el rayo (Nombralo como Punto "Q")

4) Abre el compás con longitud ____ (Ángulo original)

y centrado en Q, traza un arco de circunferencia que cruce el arco anterior (Nombralo como punto "R")

5) Traza el rayo uniendo los puntos "P" y "R".