Ejercicio 7.- Transformación de una "Forma Estándar" a una "Forma General".

Conociendo el vértice y el valor de a se puede encontrar la función de forma general sustituyendo en la forma estándar.

Ejercicio:

a= -4  v= (3,42)

Para realizar la operación debemos sustituir los valores en la fórmula estándar:

(x-h)^2+k = f(x)

-4(x-3)^2+42 = y

Después de esto tenemos el “TCP”:

-4(x^2-6x+9)+42= f(x)

Lo siguiente será multiplicar por el valor de  “a” ósea multiplicaremos por -4:

-4x^2 -24x-36+42= f(x)

Y al final solo aplicamos jerarquía de operaciones:

-4x^2 - 24x + 6 = f(x)

Ejercicio 6.- Conversión de "Forma General" a "Forma Estándar".

En ésta conversión usaremos el método para completar un TCP, en este caso el valor de “a” sera igual a 1.

Ejercicio: Encuentra el vértice y grafica la parábola: y= x^2 - 6x + 13

Tenemos que darle el valor a las letras: a, b y c

a= 1

b= -6

c= 13

Después usaremos la siguiente formula:

(b/2)^2

(-6/2)^2 = 9

Y tenemos que sumar y restar el resultado anterior:

y= x^2 - 6x + 9 - 9 + 13

Los primeros 3 términos corresponden a un TCP este lo tenemos que factorizar para obtener un binomio al cuadrado:

y= x^2  -  6x  +  9   -9 +13

      Raíz  Signo  Raíz 

y= (x - 3)^2 + 4

Y así usando la Raíz y el signo podemos obtener el vértice con la siguiente fórmula,  y tendremos que identificar el  valor de a, h y k: 

y= (x - h)^2 + k 

a= 1

h= 3 

k= 4

Entonces el vértice será: h y k

V= (h,k)

V= (3,4)

Ya tenemos el primer punto y asi podemos tabular con esta información.

 y= 2^2 - 6(2) + 13 = 5

y= 1^2 - 6(1) + 13 = 8

x	Y
1	8
2	5
3	4
4	5
5	8

Elementos de Nuestra Parábola:

- Ramas arriba

- Concavidad positiva

- Vértice= (3,4)

- Eje de simetría= 3

- Mínimo= 4

Cuando nuestro coeficiente cuadrático es diferente de 1:

Por ejemplo:
 y= -4x^2 +24x +6

Debemos de agrupan los términos lineales y cuadráticos:
[-4x^+24x]+6

Y así  factorizamos lo que agrupamos pero debemos tomar el término cuadrático:

-4[x^2-6x]+6

Después obtendremos  “b” del término lineal de todo lo que tenemos dentro de nuestro  corchete, esto se tiene que hacer  para aplicar:
(b/2)^2
b=-6 (-6/2)^2 = -3^2= 9

Después sumaremos y se restaremos el valor obtenido dentro de los corchetes:
-4[x^2-6x+9-9]+6

Siguiendo factorizaremos  para obtener el TCP y aplicaremos jerarquía de operaciones:

-4(x-3)^2+36+6

-4(x-3)^2+42

y= (x-h)^2 +k

Y así ya tenemos nuestra forma estándar:

a= -4

h= 3

k= 42

El vértice es: h y k:

Vértice= (3,42)

-4(2)^2+24(2)+6=38

-4(1)^2+24(1)+6=26

Ahora tabularemos en nuestra tabla y aremos nuestra parábola:

x	Y
1	26
2	38
3	42
4	38
5	26

Elementos de nuestra parábola:

-Ramas abajo

-Concavidad negativa

-Vértice (3,42)

-Eje de simetría 3

Máximo 42 

Ejercicio 5.-  Ecuación cuadrática de la Forma Estándar. 

Primero debemos conocer la forma estándar que es la siguiente:

y= a(x-h)^2 + k

Donde a, h y k, según sus valores la gráfica se moverá hacia arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda y también se podrá ensanchar o adelgazar.

"a" define si es ancha o delgada:

1- y= x^2

2- y= 3x^2

y= x^2

x	Y
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9

y= 3x^2

x	y
-3	27
-2	12
-1	3
0	0
1	3
2	12
3	27

a= Define si es ancha o delgada

h= Define si se desplaza a la izquierda o a la derecha

k= Define si va hacia arriba o hacia abajo

Ejercicio 4.- Análisis del Discriminante.

El discriminante es la operación que se encuentra adentro del radical en la fórmula general. Si el discriminante es mayor a 0, obtendremos 2 raíces o soluciones  y el eje x es cortado en 2 puntos. Si es igual a 0, se obtendrá una raíz o solución y solamente se obtiene un punto sobre el eje x y ése será el vértice. Si es menor a 0, se tiene solución con 2 raíces complejas y conjugadas, las cuales no cortan al eje x. Para obtener la gráfica se tendrá que aplicar la formula del vértice o por medio del vértice y después tabular una unidad arriba y una unidad abajo.

Ejercicio: Graficar la función:  F(x)= 2x^2 + x - 6
a= 2
b= 1
c= -6

Hay que obtener el punto x del vértice, usando la siguiente fórmula:x= -b/2a

x= -1/2(2)

x= -0.25

Despues hay que obtener la función de x, sustituyendo los valores:f(x)= 2(-.25)^2-.25-6= -6.125

Para obtener el resultado de arriba es necesario hacer los siguientes pasos:

-1/2(2)= -0.25

f(x)= 2(-0.25)^2+(-0.25)-6=

f(x)= -6.125

Después obtendremos un punto arriba y otro abajo por medio de la fórmula general: 

x1,x2=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x1,x2=(-1±√(1^2-4(2)(-6)))/2(2)

x1,x2=(-1±√(1+48))/4

x1,x2=(-1±√(49))/4

x1,x2=-1±7/4

x1=-1+7/4 = 1.5

x2=-1-7/4 = -2

Y así ya podremos graficar con los puntos que obtuvimos:

Ejercicio 3.- Puntos Importantes de una Parábola.

1.- "Graficar de las Siguientes funciones cuadráticas a partir del vértice y las dos raíces, obtener  sus elementos"

f(x)= x^2-3x-10
a= 1
b= -3
c= -10

Ahora para obtener "x" hay que resolver la siguiente Fórmula:

x= -b/2a

x= -3/2(1)

x= 3/2

Teniendo este ultimo resultado tenemos el valor de "x" y se tomara como punto del vértice.

Después sustituiremos "x" en la función cuadrática.

f(x)= x^2-3x-10

f(x)= (3/2)^2-3(3/2)-10

f(x)= 9/4-40/4

f (x)= -49/4

Al realizar este procedimiento ya tenemos el vértice de nuestra parábola.

x= 3/2 

 f(x) ó y=  -(49/4)  

Ya tenemos nuestro primer punto ahora usaremos la función cuadrática en la fórmula general  para obtener las x que faltan sacando la raíz.

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x1,x2=(-(-3)±√((-3)^2-4(1)(-10)))/2(1)

x1,x2=(3±√(9 + 40))/2

x1,x2=(3±√(40))/2

x1,x2=3±7/2

x1=3+7/2 

x1= 5

x2=3-7/2

x2=-2

Con estos valores ya podemos completar nuestra tabla de tabulacion.

   

x	F(x)= y
-2	0
3/2	-(49/4)
5	0

Con estos datos podemos obtener nuestra parábola.

Y los Elementos de la Parábola son los siguientes:

RAMAS: ABAJO

CONCAVIDAD: POSITIVA

VÉRTICE: 3/2, -49/4

EJE DE SIMETRÍA: 3/2

MÍNIMO:  -49/4

Ejercicio 2.- ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.

1.- Obtener los elementos de la parábola y la gráfica de la siguiente función: y= -x^2+2

Para esto debemos darle un valor a "x", para darle el valor mencionado tabularemos de -5 a 5.

A(x)= -(-5)^2 + 2= -23
A(x)= -(-4)^2 + 2= -14
A(x)= -(-3)^2 + 2= -7
A(x)= -(-2)^2 + 2= -2

A(x)= -(-1)^2 + 2= 1
A(x)= -(0)^2 + 2= 2
A(x)= -(-1)^2 + 2= 1
A(x)= -(-2)^2 + 2= -2
A(x)= -(3)^2 + 2= -7

A(x)= -(4)^2 + 2= -14
A(x)= -(5)^2 + 2= -23

Después de haber de haber encontrado el valor de "x" ahora si tabularemos:

X	Y
-5	-23
-4	-14
-3	-7
-2	-2
-1	1
0	2
1	1
2	-2
3	-7
4	-14
5	-23

Y nuestra Parábola quedara de la siguiente forma:

En conclusión los elementos de la parábola son los siguientes:
RAMAS: ABAJO
CONCAVIDAD: NEGATIVA
VÉRTICE: (0,2)
EJE DE SIMETRÍA: 0
MÁXIMO: 2

UNIDAD 1.- FUNCIONES CUADRÁTICAS.

EJERCICIO 1:

1.- Existe un terreno de forma rectangular el cual hay que cercar con una malla de 120 metros. Por uno de sus lados tiene una barda, tal y como se muestra:

La Pregunta es: ¿Qué área se puede cercar?

Debemos considerar que es un rectángulo por lo tanto ocuparemos las medidas de Área y Perímetro de la Siguiente forma:

Perímetro:

1.- 120= x+2b

Área:

2.- A(x)=xb

Ahora debemos Despejar b de 1:

b= 120-x/2

Después b se sustituye en la ecuación 2:

A(x)= x(20-x)/2
A(x)= 60x-x2/2

Esta sera la base para poder sustituir x en un rango de 0 a 120, como en la siguiente manera:

A(x)=  60 (0) - (0)^2= 0

A(x)= 60 (20) - (20)^2= 1000

A(x)= 60 (40) - (40)^2= 1600

A(x)= 60 (60) - (60)^2=  1800

A(x)= 60 (80) - (80)^2= 1600

A(x)= 60 (100) - 60 (100)= 1000

A(x)= 60 (120) - 60 (120)= 0

Y en la tabulación quedaría de la manera siguiente:

X	ÁREA
0	0
20	1000
40	1600
60	1800
80	1600
100	1000
120	0

Y en la representación grafica, quedaría una parabola de la siguiente forma:

Así llegamos a la conclusión de que la respuesta del problema es: 

Área= Varea entre 0 y 1800

Se tomo el numero menor y mayor de la tabulacion y esto se refiere a que el terreno se puede cercar de 0 a 1800 metros cuadrados.